最近十年来，我花了不少工夫，在清华大学聘请了一批世界一流学者。我很高兴地看到，中国的数学和基础科学水平蒸蒸日上，有了很大发展。 今天的讲座，我要说的是一件很重要的事，我始终希望能跟我的同事、学生们分享，这就是中国数学和基础科学的前路到底该怎么走。 我们要走的是一个能够带领全世界数学和基础科学走向的方向，这才算得上世界第一流。假如做学问都是跟着人家后面走，那是不能解决重要问题的。目前遇到的所谓“卡脖子”的问题，也是因为在很多重要问题上，还是跟着别人走。因此今天我想跟大家具体讨论，什么是第一流的学问，特别是第一流的学问在数学领域如何产生。 何为“学”，何为“问” 首先，学问有两个部分，一个是“学”，一个是“问”。孔子说：“学而不思则罔，思而不学则殆。”思考其实就是问。我们中国人擅长考试，学习别人提出来的各种方法和技巧，磨炼得很熟。但如果仅仅是善于答题，那么对科学的发展，贡献并不多。目前，我们虽然不断地获得奥数比赛金牌，但是尚未出现一大批解决伟大数学问题的学者。因此，一定要晓得到底如何做学问，如何做一流的学问。 其次，做学问需要勤奋。没有基本工具，只靠思考是没有用的。孔子说“思而不学则殆”，就是说只思考不学习是远远不够的。数学科学发展至今已经有两千五百多年的历史，先后涌现出了许多天才数学家。从欧几里得、毕达哥拉斯、阿基米德，到后来的费马、笛卡尔、牛顿、高斯、欧拉、拉格朗日、黎曼、希尔伯特等，一层一层将数学这幢大厦搭建得越来越高。无论我们天分多好、多么擅长思考，我们的学问、创造力都必须以他们的学问为基础。微积分就是从阿基米德那个时候慢慢发展，最终由牛顿、莱布尼茨完成。这个过程是没办法跳跃的，每一步都必须建立在前人学问的基础上。牛顿曾说：“如果说我看得比别人更远些,那是因为我站在巨人的肩膀上。”这不是谦虚，他的工作就是在前人的基础上做出来的。今天，我们要带领世界学问的潮流，非将前人的学问学好不可，而在这个过程中，勤奋绝对重要。 为什么要提出问题 “寻天人乐处，拓万古心胸”，这是清华大学求真书院的院训。究其根源，我们所做的学问，尤其科学和数学，都是与大自然密切关联的。我们要在追寻大自然奥秘的过程中，找到它最有意义、最有乐趣之处。假如我们不了解、不欣赏大自然的奥秘与乐趣，学问是始终做不好的，这就是“寻天人乐处”。“拓万古心胸”则是说，做学问不只是为了拿奖、做院士，而是希望所作的学问能够在科学史上留下重要的轨迹。《诗经》《楚辞》以及李白、杜甫的诗歌，过了上千年，读起来还是饶有意趣，这是因为他们对大自然的美、对人世喜怒哀乐的描述，让人至今都觉得亲切自然，这就是我说的“天人乐处”。我们做的学问也要引起后代的共鸣，让他们晓得我们今天开创的方向、发现的规律有怎样的重要意义。 我们要考虑整个学问向前走的方向到底是什么，应该如何去认识数学的内在结构，这是许多大数学家常常思考的问题。大学问家往往会提出很多问题。如果不提出自己原创的问题，更多的是解答别人的问题，这不见得是数学和科学的真髓。我以为，重要的是要找出自己的方向。《礼记・学记》说：“善待问者如撞钟,叩之以小者则小鸣,叩之以大者则大鸣。”这里撞的“钟”，就是大自然和万物运行的规律。深入的问题能够指向大自然奥秘的深处，很快帮助我们引出其他有意义的相关问题。 由希尔伯特23问说开去 希尔伯特23问是数学历史上一个非常重要的问题集。1900年8月8日，德国数学家希尔伯特做了题为《数学问题》的演讲。他认为，从19世纪进入20世纪，数学家们提出一些重要的问题，对于推动学科进步的作用毋庸置疑。他说，一个学科能够产生大量重要问题，才能保持活力。这23个问题，基本上可以说引领了数学界后来50年的发展。当然这23个问题不是全部由他提出的，也包括从前大数学家的问题，比如黎曼等。这些问题迄今未全部解决，但其中部分问题的解决，已经促进了数学学科的重要发展。 1978年，我在普林斯顿高等研究院组织几何年特别会议――微分几何论坛，带领一批数学家、几何学家研究几何方面主要的方向。会议最后几周，我徇众要求，提出了120个几何方面最重要的问题。虽然我提出的问题无法跟希尔伯特23问相提并论，但还是很有意义的――对当时几何学遇到的困难主要在什么地方进行思考、指出学科向前走的方向，以及解决后会产生什么重要的结果和影响。从短期来说，一些好的问题可能不会立即产生很大影响，还需要我们花时间去消化、去思考。但是，这些问题一经提出，往往会影响到数学中某些学科的方向。我提出的120问促成了一个重要学科“几何分析”的发端。 当时提出的这些问题，目前已经有大概三分之一被解决，大部分都是正面的解决，基本印证了猜想的方向是重要的、是正确的，很多数学家在解决这些问题方面也得到了很好的结果。 好的问题是什么样的 好的问题让人豁然开朗。思考这个问题本身，能发展出一系列的想法、催生出一系列文章。无论最终是否解决，仅仅推敲、研究这个问题的过程都很重要。好的问题通常是简洁、漂亮的。解决了它，其所在领域里许多问题可能都会随之解决，就像在长江里面有一块巨石，将巨石挪开，水流就会顿时变得顺畅。 能否听出鼓的面积？ 我要举例的第一个问题，是关于声音和几何的关系。 古希腊时代，人类就认识到声音由一些基本音组合而成。无论弹钢琴或是打鼓，敲击会产生不同频率的波动，发出声音。波动由多个基本波组合而来，对应各个基本音级。每个基本波有固定的频率，频率则可由鼓的谱计算得到。波动会产生很漂亮的图形，几何学家十分重视。 著名的几何学家博赫纳（Salomon Bochner）提过的一个问题：我们可否听出鼓的形状？这一问题的思想可以追溯至1910年。当时，量子力学刚萌芽，物理学家洛伦兹（H.A. Lorentz）提出：是否可以通过鼓声的谱和频率估算鼓的面积？希尔伯特对这个有趣的问题很感兴趣，但认为它太难，有生之年，不可能看到它的解决。但过了一年后，希尔伯特的学生外尔(Hermann Weyl)就把问题解决了。外尔认为，谱越来越高，按照量子力学的观念，即谱的观念，可以推测到局部的几何变化，从而推导出外尔方程。这是个很重要的方程，对今天的数学仍然有重要的影响。外尔的思路和方法还可以向前追溯。欧拉花了很多工夫研究在k为正数时，1/nk的和，发展出重要的泛函方程。黎曼将其推广，写下了著名的黎曼ζ函数。这个划时代的工作,影响了数论的发展。外尔又推广了黎曼ζ函数的思想到一般的空间，用以研究“听鼓声估算面积”这一问题，并最终解决。 能否听出鼓的面积――这个问题由洛伦兹从物理现象出发，提出问题，最终由外尔解决。这个问题简洁、自然且有趣，而其解决问题的方法最终引发了几何学上不少重要的进展。 谱可以视为几何图形的量子讯息，事实上可以得到量子讯息和几何的关系。谱向无穷增大时, 得到局部的几何讯息，包括曲率、面积元等;谱小时，得到几何的拓扑或是宏观讯息。几何学家对几何图形最小的谱也有浓厚的兴趣。 关于极小曲面的猜想 我们生活中可以看到很多极小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，将铁线放在水中提拉出来，形成的薄薄的肥皂膜，就是极小曲面。而在实验中，我们可以构造更多不同形象的极小曲面。几何学家热衷于了解它们的性质。1977年，我提出一个问题：如何能找到所有完备没有边界的极小曲面？经过40年的努力，我的同学米克斯（William Hamilton Meeks III）已经基本解决了这个问题。 我的第二个猜想更困难，到现在还没全部解决。我提出，可不可以找到三维球中所有紧致极小曲面？我的朋友劳森（Herbert Blaine Lawson，Jr.）构造出一些有趣的例子，被称作劳森曲面（Lawson Surface）。假如将这个曲面放在四维空间的单位球里，然后从圆心取直线和这个曲面的每一个点联结起来可得到一个三维锥，即一个三维极小流形。这后来成为广义相对论中描述时空的重要工具。我解决的另一个重要问题――广义相对论中的正质量猜想，简单来说，主要方法就是研究肥皂泡在时空引力下如何变化。 如果把极小流形当作一个鼓面，敲击后得到一个谱，那么最小的谱等于多少？1974年，我提出，三维球中的极小曲面第一个谱λ1等于2。我与很多朋友讨论，他们都被这奇妙的猜测吓了一跳，卡拉比先生认为我很有洞察力。几年后，有两位个数学家证明了三维球中的极小曲面最小的谱在1和2中间，这个答案已经在极小曲面的研究中很有用了。 数学中的“赋比兴” 完成上述猜想的过程中，我的基本方法是，比较两个完全不同的观念,一个是几何的观念，一个是量子力学的观念，最终得出曲面最小的谱等于2，当然还有待严格的证明。 数学是很奇妙的学问，它是一个讲推理、讲规则的学问，通过比较不同的规则和思想，就可以得到有意义的猜想，这其实是数学研究中的惯用手法。 这与诗经里讲究的“赋比兴”也有着密切的关系。所谓“比”，即用不同的景物类比，比如杨柳代表离别或者美人的腰肢。讲起离别，不免想起《诗经》中的“昔我往矣,杨柳依依”，周邦彦笔下“长条故惹行客。似牵衣待话，别情无极”，以及柳永的名句“杨柳岸，晓风残月”，而说到美人的腰肢，则忆起张先的“细看诸处好。人人道，柳腰身”，这都是缘于柳条细而柔所作的类比,更有温庭筠的“柳丝长，春雨细，花外漏声迢递”、周邦彦描写的“长亭路，年去岁来，应折柔条过千尺”…… 种种不同的比较，是数学中常用的手段。数学研究者们应该考虑这个思路，不能只做题目，不能看到数字就是数字、看到方程就是方程，它们中间其实是有很多可以比较、可以关联之处的。 好问题从何而来 好问题从什么地方来，怎样才能解决它？首先要了解不同的观点。历史上，很多大学问的完成，往往是不同学问之间碰撞产生的火花促成的。比如前面提到的外尔，他是一个伟大的数学家，也是一个伟大的物理学家，他在量子力学和几何学之间搭建了一座桥梁。而因这座桥梁，也孕育出一批很好的数学家，和一个全新的探究路径。所以我认为，找到自己的方向，是提出好问题的重要途径。 另外，要解决一个大问题时，往往要有很好的工具。工具的发展是不断精益求精的过程，每个新工具又促进学问继续发展。新工具让我们看到不同现象，提升我们看待问题的深度，促发我们进一步发展工具。工具越多，越能产生更深刻的、更有效的解决问题的方法。每一次工具的进步，都能带动有意义的、重要的、突破性的学问的发展。 在伽利略时代，他观测到地球是太阳系里的恒星，引发了牛顿力学的发展。此后，人类看得更远。到了20世纪初期，我们了解到太阳系外还有银河系，以及不同的星云。每一次跳跃都是伴随着“望远镜”这个工具的不断发展。数学上也同样如此。 比如费马猜想距今已经有300多年的历史。30年前，英国大数学家怀尔斯（Andrew Wiles）才解决了这个问题。在他之前，几百年来，大数学家们都有兴趣来解决这个问题。费马和欧拉解决了n=3时的情形，使用了椭圆曲线的方法。19世纪，德国数学家库默尔（Ernst Kummer）,以为自己可以解决费马问题，虽然没有成功，但他引入了代数中的重要概念，即理想(ideal)，从而带动一大批其他问题的解决。到了20世纪，出现了更多不同的方法，其中一个是由日本数学家谷山丰（Yutaka Taniyama)、志村五郎(Goro Shimura)，以及法国大数学家韦伊（Andre Weil）提出的谷山-韦伊-志村猜想(Taniyama-Weil-Shimura Conjecture)，成为解决费马猜想的重要工具，最终由怀尔斯解决了这个300余年的题目。 欣赏数学之美的同时，要欣赏数学美与真背后的规律，通过不断比较，提出重要的、具有开创性的问题。一个学科重要的问题，必须在不断学习中，才能慢慢体会。 何为伟大的工作 伟大的数学家都有一套自己对学问的看法（Philosophy），这些系统的、深邃的、崭新的观点给古老的数学注入新的活力，产生一系列有意义的问题。正如西方戏剧《浮士德》、中国古典名著《红楼梦》一样，都是由不同部分组成，每个部分又自成一格，但无论是牡丹还是绿叶，终须大师提纲挈领，方可将零散的部分组合一番，最终形成一幅瑰丽的图画。 我们也要创立一个这样的纲领。在这纲领的指引下，将各个不同的学科分支放在一起，最终构建出一座宏伟的大厦。 […]
